Une étude asymptotique du noyau de la chaleur, indice local et traces sur les variétés de Cauchy-Riemann avec action d'un cercle. ©Electre 2024

Le laplacien de Kohn sur une variété de Cauchy-Riemann (CR) avec action transverse d'un cercle est un exemple important pour l'analyse complexe d'un opérateur transversalement elliptique. Nous établissons ici un développement asymptotique du noyau de la chaleur de ses coefficients de Fourier, qui inclut une contribution des strates singulières de l'action du cercle. Nous calculons ensuite une densité d'indice locale pour ces opérateurs en montrant, à l'aide de techniques dues à Getzler, que certaines contributions des strates singulières non-triviales dans le développement du noyau de la chaleur s'annulent ici. Ce résultat, que l'on peut interpréter comme un théorème d'indice local sur ces variétés CR, s'applique notamment aux variétés de Sasaki qui sont importantes en théorie des cordes. Nous donnons également des exemples concrets de telles variétés CR, issues notamment des variétés de Brieskorn. De plus, nous pouvons réinterpréter dans certains cas la version du théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch pour un orbifold complexe muni d'un fibré orbifold en droites complexes due à Kawasaki comme une formule d'indice. Notre méthode évite le recours à la cohomologie équivariante et les annulations des termes issus des strates singulières surviennent naturellement.

Among the transversally elliptic operators initiated by Atiyah and Singer, Kohn's ?b, operator on CR manifolds with S¹ action is a natural one of geometric significance for complex analysts. Our first main result establishes an asymptotic expansion for the heat kernel of such an operator with values in its Fourier components, which involves a contribution in terms of a distance function from lower dimensional strata of the S¹-action. Our second main result computes a local index density, in terms of tangential characteristic forms, on such manifolds including Sasakian manifolds of interest in String Theory, by showing that certain non-trivial contributions from strata in the heat kernel expansion will eventually cancel out by applying Getzler's rescaling technique to off-diagonal estimates. This leads to a local result which can be thought of as a type of local index theorem on these CR manifolds. We give examples of these CR manifolds, some of which arise from Brieskorn manifolds. Moreover in some cases, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold equipped with an orbifold holomorphic line bundle, as an index theorem obtained by a single integral over a smooth CR manifold. We achieve this without use of equivariant cohomology method and our method can naturally drop the contributions arising from lower dimensional strata as done in previous works.