Illustré de nombreux exemples et exercices corrigés, ce livre permet de comprendre l'arithmétique modulaire et ses applications. Développée par Gauss, elle consiste en un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. L'arrivée au XXe siècle de la cryptographie et des techniques de codes correcteurs d'erreurs modifièrent son statut. ©Electre 2025

L'Arithmétique une introduction ludique

Tome II : L'Arithmétique modulaire et ses applications

Exemples et exercices corrigés

L'Arithmétique classique existe depuis l'Antiquité. Elle s'est développée au long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte.

Gauss a beaucoup développé l'arithmétique modulaire notamment avec la notion de congruences, de résidu quadratique, etc., et a démontré de nombreuses propriétés dans ce domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline s'est développée sans aucune application concrète. La seconde moitié du XX^e siècle a été caractérisée par l'arrivée de nombreuses applications dont la cryptographie et, dans une moindre mesure, les techniques de codes correcteurs d'erreurs qui sont maintenant très utilisés en transmission. Divers problèmes amusants se traitent assez facilement avec ces techniques. L'arithmétique modulaire est également utilisée pour démontrer des propriétés de l'arithmétique classique, ce qui explique certains liens entre les deux tomes qui se complètent. Les deux premiers chapitres ne font pas tout à fait partie de l'arithmétique modulaire : les entiers complexes et les fonctions arithmétiques. Le premier est destiné à montrer l'une des ouvertures possibles de l'arithmétique classique. En revanche certaines fonctions arithmétiques dont l'indicatrice de Gauss sont très utiles pour certaines démonstrations. Les dix-sept autres chapitres sont centrés sur l'arithmétique modulaire et ses applications. Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler et même rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en grande partie par la quasi- absence d'exemples et d'exercices. Pour ces raisons, l'auteur a délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique avec de nombreux exemples et exercices avec corrigés quitte à omettre des démonstrations trop longues ou trop difficiles. Une ouverture vers la cryptographie permet de comprendre l'intérêt de cette discipline.

Tome I : L'arithmétique classique.