Exposé des fonctions qui dépendent d'autres fonctions, des équations intégrales de Volterra, de l'équation de Fredholm ainsi que des équations intégro-différentielles. Aborde aussi les concepts d'opération de composition et de permutabilité. ©Electre 2024

Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-différentielles

I - Sur les fonctions qui dépendent d'autres fonctions.

Idée générale de fonction. - Fonctions qui dépendent d'autres fonctions. Fonctions de lignes. - Quelques applications des fonctions de lignes. - Quelques exemples de fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'autres fonctions. Notations. - Variation d'une fonction qui dépend de toutes les valeurs d'autres fonctions. - Application des idées de dérivation à une classe spéciale de fonctions F. - Calcul des variations d'une fonction F. - Extension de la formule de Taylor. - Points exceptionnels. - Problèmes du calcul des variations des fonctions F. - Idées fondamentales sur l'inversion des intégrales définies.

II - Équations intégrales de Volterra.

L'équation d'Abel. - Équation de Volterra de deuxième espèce. Trois principes fondamentaux. - Équation de Volterra de première espèce. - Systèmes d'équations intégrales. - Inversion des intégrales multiples. - Systèmes d'équations intégrales à plusieurs variables. - Méthodes par approximations successives. - Équations de Volterra de type généralisé. - Équations intégrales de Volterra avec les deux limites de l'intégrale variables.

III - L'équation de Fredholm.

Remarques générales. - Principe d'inversion. - Principe de réciprocité. - Principe de convergence. - Récapitulation des trois principes. - Généralisation du principe de réciprocité. - Discussion de la solution. - Solution de l'équation de Fredholm considérée comme cas limite d'un système algébrique. - Approximations successives. - Cas d'un système d'équations. - Cas où le noyau devient infini. - Cas des intégrales multiples. - Application au problème de Dirichlet. - Application aux équations des vibrations. - Application aux oscillations des liquides. - Résolution d'une équation intégrale transcendante.

IV - Équations intégro-différentielles et fonctions permutables.

Remarques générales. - Le problème statique de la torsion élastique héréditaire. - Équation intégro-différentielle du problème dynamique de la torsion héréditaire. - Étude de l'équation intégro-différentielle fondamentale de type elliptique. - Fonctions permutables et leurs compositions. - Le groupe du cycle fermé. - Séries de fonctions permutables. - Théorème général sur les équations intégrales et intégro-différentielles. - Applications.