Cours d'analyse mathématique : théorie des fonctions

Reprise du cours de calcul différentiel et intégral donné par le professeur à la Faculté des sciences de Paris reprenant les fondements de la discipline et exposant des théories et des techniques nouvelles, notamment le théorème de Dini sur l'intégrale de Riemann, un théorème de Serge Bernsteins sur les fonctions à dérivées positives, et des polynômes de Tchebycheff, etc. ©Electre 2025

Mes comptes rendus annuels publiés dans l'Almanach des sciences, quelques exposés et certaines parties de mes Ouvrages d'enseignement, peuvent renseigner sur mon attitude dans la crise actuelle des mathématiques. Cette crise, ouverte depuis plus de 50 ans comme le montrent, par exemple, les Notes terminales de la quatrième édition des Leçons sur la théorie des fonctions de M. Émile Borel (1950)*, n'intéresse pas seulement les philosophes, elle touche à l'existence même de toute une partie des mathématiques modernes. Elle prend aujourd'hui l'aspect d'une lutte très vive, entre les partisans d'une construction axiomatique des notions mathématiques fondamentales et les mathématiciens qui se qualifient d'intuitionnistes. Les premiers se présentent comme les défenseurs des mathématiques classiques nées de la géométrie grecque, je suis avec eux, mais je ne suis pas avec ceux d'entre eux qui rompent délibérément le contact entre les mathématiques abstraites construites axiomatiquement et les mathématiques pratiques. Je suis d'accord avec M. Émile Borel lorsqu'il écrit dans l'Ouvrage ci-dessus :

«Si les travaux géométriques de Hilbert sont considérés comme faisant partie de la science mathématique, c'est en raison des relations étroites entre les choses qu'Hilbert appelle points, droites et plans et les choses que le vulgaire appelle points, droites et plans.»

Je pense donc d'une part que les notions mathématiques fondamentales ont été conçues à partir des faits observés, que les idées vulgaires de corps solide, de propagation rectiligne de la lumière, de lignes droites et de plans réalisés en architecture, ont été les bases des premiers essais des géomètres ; d'autre part, que la science abstraite des nombres et des formes géométriques qui en est issue, tire une partie de sa valeur de son aptitude à donner des explications commodes de certains faits expérimentaux tant que l'on reste dans des limites convenables. L'espace abstrait cartésien est le support commun des conceptions du mathématicien, du physicien et aussi, dans un champ restreint, de l'astronome ; chacun d'eux l'utilise à sa façon et je ne crois pas, par exemple, qu'il y ait identité entre le discontinu précis du géomètre et le discontinu incertain du physicien.

* Reprint Jacques Gabay, 2003