Publié dans la Mathematische Zeitschrift, cet article constitue un jalon dans l'histoire de la théorie des groupes de Lie. Combinant les deux approches de Cartan et Hurwitz, Weyl y démontre le théorème de complète réductibilité ainsi que la formule des caractères et de la dimension pour tout groupe de Lie. Le commentaire éclaire les sources, la structure et la réception de cet article. ©Electre 2024

Ce livre contient une traduction inédite de l'article sur les groupes et les algèbres de Lie semi-simples que le mathématicien Hermann Weyl (1885-1955) a publié dans la Mathematische Zeitschrift en 1925-1926. Cet article constitue l'un des principaux jalons dans l'histoire de la théorie des groupes de Lie : Weyl y combine deux méthodes distinctes empruntées à Cartan et Hurwitz. Ce faisant, Weyl démontre le théorème de complète réductibilité (pour toute algèbre de Lie semi-simple) ainsi que la formule des caractères et de la dimension pour tout groupe de Lie semi-simple.

Cette traduction est accompagnée d'un commentaire exhaustif portant sur les sources, la structure et la réception de cet article. Il s'agit tout d'abord de savoir comment Weyl s'approprie les travaux respectifs de Cartan, Frobenius, Hurwitz et Schur. Weyl parvient à les synthétiser dans son article qui frappe par sa profonde unité. Cette unité prend la forme d'une harmonie polyphonique entre plusieurs méthodes et domaines des mathématiques.

Le texte de Weyl est ensuite étudié à partir d'une problématique contemporaine en histoire des mathématiques portant sur les questions de généralité. L'objectif est alors de montrer, à partir d'une analyse fine d'indices textuels, que le groupe spécial linéaire constitue un exemple paradigmatique dans cet article : l'étude de ce cas permet à Weyl d'accéder à la théorie générale des algèbres de Lie (semi-simples).

S'agissant de la réception de cet article, l'auteur revient tout d'abord sur la complexité des échanges entre Cartan et Weyl au sujet des groupes de Lie à partir de 1925. Il rend ensuite compte de la controverse qui oppose Weyl à certains algébristes - Noether, van der Waerden, Artin ou encore Hasse - sur les méthodes de l'algèbre abstraite au début des années 1930. L'auteur aborde enfin le projet de réécriture de cet article inauguré par Weyl dans son cours consacré aux algèbres de Lie à l'Institute for Advanced Study (IAS, Princeton) en 1934-1935. Cette étude est fondée sur des documents inédits conservés dans les archives Weyl à l'ETH de Zürich. Cette réécriture sera prolongée par Jacobson (qui fut le premier assistant de Weyl à Princeton) et Chevalley qui, en 1946, publie la première partie d'une grande monographie sur les groupes de Lie et les groupes algébriques. Ce projet de réécriture ne saurait être décrit indépendamment du cadre institutionnel de l'université de Princeton et de l'IAS.