Espaces de modules des courbes, groupes modulaires et théorie des champs

Communications faisant un état de la recherche sur les utilisations de l'espace de modules des surfaces de Riemann en physique théorique et en théorie des nombres. Traite des espaces de Teichmüller, des espaces de modules des courbes et des catégories enrubannées strictes, pour construire une théorie quantique des champs. ©Electre 2026

Ce texte est le produit d'une rencontre des États de la Recherche, qui consistait en trois cours de trois heures chacun. Le premier chapitre, correspondant au premier cours, est une introduction aux espaces de Teichmüller, plus concise que les textes introductifs courants, mais contenant la démonstration de plusieurs résultats utiles et parfois difficiles à trouver dans la littérature. Ce chapitre contient également une introduction aux espaces de modules des courbes, avec une attention particulière portée au cas de genre zéro, et une description complète de la partie à l'infini. Le deuxième chapitre reprend les espaces de modules des courbes en genre zéro et donne une description complète de leur groupoïde fondamental basé en les points base tangentiels à l'infini; cette description repose sur une identification de structure avec certains sous-groupoïdes canoniques d'une catégorie tensorielle tressée libre. Ce chapitre se termine par une étude de l'action galoisienne sur le groupoïde fondamental, calculée via la théorie de Grothendieck-Teichmüller. Enfin le chapitre 3 introduit les catégories enrubannées strictes, apparentées aux catégories tensorielles tressées, et les utilise pour construire des invariants de 3-variétés qui conduisent à leur tour à une construction de théories quantiques des champs.

The present text is the proceedings of a three-day workshop, consisting of three threehour courses. Chapter 1, corresponding to the first course, gives an introduction to Teichmüller space which is more concise than the popular textbooks, yet contains full proofs of many useful results which are often difficult to find in the literature. This chapter also contains an introduction to moduli spaces of curves, with a detailed description of the genus zero case, and in particular of the part at infinity. Chapter 2 takes up the subject of the genus zero moduli spaces and gives a complete description of their fundamental groupoids, based at tangential base points neighboring the part at infinity; the description relies on an identification of the structure of these groupoids with that of certain canonical subgroupoids of a free braided tensor category. It concludes with a study of the canonical Galois action on the fundamental groupoids, computed using Grothendieck-Teichmüller theory. Finally, chapter 3 studies strict ribbon categories, which are closely related to braided tensor categories: here they are used to construct invariants of 3-manifolds which in turn give rise to quantum field theories.