Un cours présentant une approche progressive de différentes méthodes utilisées pour reconstruire une fonction à partir de sa transformée de Radon, dans des cadres géométriques de plus en plus larges, allant des droites du plan jusqu'à des variétés différentielles générales. ©Electre 2024

Peut-on reconstruire une fonction de deux ou trois variables, connaissant seulement ses intégrales le long de toutes les droites ? Ce problème de « géométrie intégrale » s'impose à nous dans de nombreux contextes, à commencer par la tomographie aux rayons X et le scanner. La fonction cherchée, c'est la densité des tissus du corps traversés par ces rayons. Ses intégrales le long des rayons donnent leur atténuation, plus ou moins grande, visible sur le détecteur après la traversée du corps. Reconstruire la fonction densité, c'est pouvoir localiser une éventuelle anomalie.

Résolu par le mathématicien autrichien Johann Radon dès 1917, ce problème est tombé néanmoins dans un oubli presque complet pendant une cinquantaine d'années. C'est seulement à partir des années 1960 qu'il connaît un vif regain d'intérêt, stimulé à la fois par l'étendue de ses applications (imagerie médicale, astrophysique, géophysique,...) et par d'importantes avancées théoriques. Les « transformations de Radon » sont alors devenues, et demeurent de nos jours, un très actif domaine de recherches, théoriques autant qu'appliquées.

Écrit à l'intention des étudiants de niveau master, ce petit ouvrage est une magnifique illustration des méthodes en mathématiques contemporaines où géométrie et analyse se donnent la main pour nous offrir un édifice d'une beauté exceptionnelle. François Rouvière nous livre dans un style impeccable une approche progressive des méthodes mathématiques de résolution du problème de Radon, en cinq leçons indépendantes qui en mettent en valeur la diversité. Partis de la méthode originelle du fondateur, les lecteurs en découvriront bien d'autres (dont celle de Cormack, colauréat du Nobel de médecine pour ses travaux sur la tomographie) et étendront, toujours en compagnie de l'auteur, leurs résultats à d'autres cadres. Tout en célébrant la chance qui est la nôtre de vivre dans un espace de dimension 3, ils iront ensuite vers des géométries non euclidiennes, et découvriront plus loin l'apport des groupes de Lie (avec Sigurdur Helgason) et enfin celui de l'analyse microlocale (avec Israël Gelfand, Victor Guillemin, et plusieurs autres).

Cinq annexes apportent les compléments nécessaires à une bonne fondation des mathématiques du texte, et une trentaine d'exercices accompagnés la plupart du temps d'indications généreuses aideront les lecteurs dans leur progression.