La conjecture des vagues de spins prédit que les systèmes de spins équipés d'une symétrie abélienne continue se comportent comme des champs libres gaussiens à basse température. Partant du modèle de Villain en dimension supérieure ou égale à trois, à une température suffisamment basse, les auteurs démontrent que la fonction de deux points décroît asymptotiquement comme un champ libre gaussien. ©Electre 2025

Une question ouverte majeure en mécanique statistique, connue sous le nom de conjecture des vagues de spins, prédit que les systèmes de spins équipés d'une symétrie abélienne continue se comportent comme des champs libres gaussiens à basse température. Dans cet article, nous considérons le modèle de Villain en dimension supérieure ou égale à 3 à une température suffisamment basse, et nous démontrons que la fonction de deux points décroît asymptotiquement comme celle d'un champ libre gaussien. Afin d'obtenir ce résultat, nous développons une approche quantitative pour l'homogénéisation des mesures de Gibbs sur les champs de gradients avec un potentiel uniformément convexe.

A major open question in statistical mechanics, known as the Gaussian spin wave conjecture, predicts that the low temperature phase of the Abelian spin systems with continuous symmetry behave like Gaussian free fields. In this paper we consider the classical Villain rotator model in Z^d, d≥ 3 at sufficiently low temperature, and prove that the truncated two-point function decays asymptotically as |x|^2-d, with an algebraic rate of convergence. We also obtain the same asymptotic decay separately for the transversal two-point functions. This quantifies the spontaneous magnetization result for the Villain model at low temperatures and constitutes a first step toward a more precise understanding of the spin-wave conjecture. We believe that our method extends to finite range interactions, and to other Abelian spin systems and Abelian gauge theory in d≥ 3. We also develop a quantitative perspective on homogenization of uniformly convex gradient Gibbs measures.