Présentation d'une solution définitive au problème de la description des classes de conjugaison dans les groupes de Coxeter arbitraires en termes de permutations cycliques. ©Electre 2025

Cet article fournit une solution définitive au problème de la description des classes de conjugaison dans les groupes de Coxeter arbitraires en termes de permutations cycliques.

Étant donné un système de Coxeter (W, S), une permutation cyclique d'un élément w de W est un conjugué de w par une réflexion simple dont la longueur est au plus la longueur de w. Pour un sous-ensemble sphérique K de S nous appelons également deux éléments de W K-conjugués s'ils normalisent le sous-groupe parabolique standard de type K et sont conjugués l'un à l'autre par son élément le plus long.

Dans cet article, nous montrons que deux éléments conjugués de W ne diffèrent que par une suite de permutations cycliques et de K-conjugaisons, et expliquons comment cette suite peut être calculée explicitement. Chemin faisant, nous obtenons plusieurs résultats d'intérêt indépendant, comme une description du centralisateur d'un élément d'ordre infini w de W, ainsi que l'existence de décompositions naturelles de w en tant que produit d'une « partie de torsion » et d'une « partie rectiligne », avec des propriétés utiles.

This paper gives a definitive solution to the problem of describing conjugacy classes in arbitrary Coxeter groups in terms of cyclic shifts.

Given a Coxeter system (W, S), a cyclic shift of an element w of W is a conjugate of w by a simple reflection whose length is at most the length of w. For a spherical subset K of S we also call two elements of WK-conjugate if they normalize the standard parabolic subgroup of type K and are conjugate to one another by its longest element.

In this paper, we show that any two conjugate elements of W differ only by a sequence of cyclic shifts and K-conjugations, and explain how this sequence can be computed explicitely. Along the way, we obtain several results of independent interest, such as a description of the centralizer of an infinite order element w of W, as well as the existence of natural decompositions of w as a product of a « torsion part » and of a « straight part », with useful properties.