Destinée aux étudiants à partir de la troisième année de licence, une approche qui prend pour point de départ la fonction exponentielle complexe et qui explore les produits infinis, les polynômes orthogonaux et les applications en analyse fonctionnelle. Quatre chapitres offrent également aux agrégatifs des éléments pour étoffer leurs leçons d'oral d'analyse. ©Electre 2024

« Le plus court chemin entre deux vérités réelles passe souvent par le domaine complexe », telle est la réflexion de Paul Painlevé qui a servi aux auteurs de fil rouge dans le présent ouvrage. Les prérequis se limitent à une bonne familiarité avec l'Analyse enseignée en deuxième année d'université. L'ouvrage est destiné aux étudiants de L3, M1-M2 et aux agrégatifs, qui pourront l'utiliser à divers niveaux. Il viendra aussi rafraîchir les connaissances des plus vieux qui en sont restés aux traités de Cartan et de Rudin. Cent quatre-vingt cinq exercices et quatre problèmes sont proposés avec leurs solutions ; ils sont là pour compléter le cours proprement dit et faciliter la tâche de l'étudiant. Par ailleurs, une soixantaine de figures aide grandement à la compréhension du texte. Les auteurs, pédagogues de grand renom, nous offrent ici un texte original, qui renouvelle l'enseignement d'un sujet classique, et qui vient s'ajouter aux meilleurs livres en le domaine.

Le point de départ est la fonction exponentielle complexe, petit bijou mathématique s'il en est. Hervé Queffélec et Martine Queffélec revisitent aussitôt après les polynômes, qui sont la version pour enfants des fonctions holomorphes, et qui laissent apparaître beaucoup de phénomènes fondamentaux : analyticité, propriété de la moyenne, principe du maximum, etc. L'approche adoptée devient dès lors claire, partir du plus simple pour arriver confortablement au plus profond. Les moments-clés sont évidemment la formule de Cauchy et le théorème des résidus. Et, comme tout le monde le sait, une fois établie l'équivalence holomorphie-analyticité, les récompenses pleuvent ! Produits infinis, transformations conformes, polynômes orthogonaux, mais aussi des applications en Analyse fonctionnelle (sous-espaces invariants et théorème de Titchmarsh, théorèmes de Fuglede, Lidskii,...), en Théorie des nombres (nombres de Pisot,...) et en Probabilités (problème des moments,...), etc.

Un second tirage est venu ajouter à la première édition le grand théorème de Picard, des exemples de transformations conformes, des fonctions harmoniques) et des compléments (approximation de Bernstein, polynômes de Faber, exposant de Lyapounov). Depuis, la présente édition s'est enrichie pour l'essentiel des quatre ajouts suivants : quelques compléments sur les polynômes de Tchebychev et les polynômes cyclotomiques ; la formule de Stirling dans le champ complexe et l'étude sous différents aspects de la fonction Gamma d'Euler ; une preuve (due à Nesterenko) de l'irrationalité de zêta(3), qui utilise la variable complexe avec le théorème des résidus et la formule de Stirling complexe ; une preuve (due à M. Herman) d'un théorème de conjugaison analytique de Brjuno.